Тест какой склад ума – Только человек с математическим складом ума сможет пройти этот тест без единой ошибки. Dropi

Попробуйте пройти эти тесты:

• 

  Главный тест на общие знания: насколько ты умён?

  HTML-код Всякие Научные Штуки Количество прохождений: 407 396 539 115 просмотров — 28 февраля 2019 Пройти тест
• 

  Тест на знание популярных пород собак

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 217 515 490 965 просмотров — 21 декабря 2018 Пройти тест
• 

  Никто не может ответить больше чем на 7 из 10 вопросов в этом тесте на IQ

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 231 708 398 232 просмотров — 25 октября 2019 Пройти тест
• 

  У вас должно быть как минимум два образования, чтобы пройти этот тест хотя бы на 9/12

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 247 721 418 083 просмотров — 12 февраля 2019 Пройти тест
• 

  Если вы закончите представленные 15 фраз, то вы настоящий интеллектуал!

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 340 261 540 183 просмотров — 06 марта 2019 Пройти тест
• 

  Тест на общие знания, который по зубам не каждому

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 402 195 592 066 просмотров — 22 февраля 2019 Пройти тест
• 

  Тест из одного вопроса, ответить на который правильно не может почти никто. Попробуете себя?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 322 556 441 807 просмотров — 22 января 2019 Пройти тест
• 

  Если вы ответите верно на все наши каверзные вопросы, то точно не зря получали высшее образование

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 242 258 347 442 просмотров — 22 марта 2019 Пройти тест
• 

  Не заглядывая в Гугл, сможете ответить хотя бы на половину вопросов этого теста?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 332 782 511 761 просмотров — 22 августа 2019 Пройти тест
• 

  Угадайте воинские звания России по погонам

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 462 455 677 509 просмотров — 11 марта 2019 Пройти тест
• 

  Никто не может угадать, какое из этих колец самое дорогое

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 1 178 234 1 377 045 просмотров — 20 февраля 2019 Пройти тест
• 

  Тест на грамотность: Технарь вы или гуманитарий?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 332 460 455 469 просмотров — 15 января 2019 Пройти тест
• 

  Сможете ли вы набрать 10/10 баллов в нашем тесте на общие знания?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 504 112 727 981 просмотров — 06 марта 2019 Пройти тест
• 

  К какому типу женщин вы относитесь?

  HTML-код Никитин Константин Количество прохождений: 218 763 288 445 просмотров — 24 февраля 2017 Пройти тест
• 

  Умеете ли вы готовить? Сложный кулинарный Блиц-тест ресторатора Ивана Шишкина

  HTML-код Администратор Количество прохождений: 223 638 444 314 просмотров — 01 декабря 2016 Пройти тест
• 

  Тест на широкий кругозор: сможете ли вы ответить хотя бы на половину вопросов?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 474 866 923 379 просмотров — 28 февраля 2019 Пройти тест
• 

  Тест на общую эрудицию. Сумеешь набрать хотя бы 10 баллов?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 321 182 487 281 просмотров — 12 июня 2018 Пройти тест
• 

  Простейший тест на IQ из нескольких вопросов

  HTML-код Администратор Количество прохождений: 262 353 422 306 просмотров — 09 декабря 2016 Пройти тест
• 

  Тест на общие знания: Только редкий эрудит способен набрать все 12 правильных ответов

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 233 346 441 642 просмотров — 19 июня 2019 Пройти тест
• 

  Насколько Ваш мозг пошлый?

  HTML-код Никитин Константин Количество прохождений: 578 724 1 186 060 просмотров — 20 декабря 2016 Пройти тест

Новые тесты от Андрей

• 

  Сможете ли вы разгадать старинные загадки?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 57 94 просмотров — 24 января 2020 Пройти тест
• 

  Правда или ложь? Немногие способны пройти этот тест на эрудицию

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 84 133 просмотров — 24 января 2020 Пройти тест
• 

  Подумаем? Угадаешь какое название советского фильма мы зашифровали значками?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 573 972 просмотров — 24 января 2020 Пройти тест
• 

  Выберите один из ключей и узнайте, что изменится в вашей личной жизни в скором времени

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 1 055 1 372 просмотров — 24 января 2020 Пройти тест
• 

  Тест, определяющий вашего ангела-хранителя

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 253 349 просмотров — 23 января 2020 Пройти тест
• 

  Вы никогда не наберете 10/10 в этом невероятном тесте на общие знания

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 288 466 просмотров — 23 января 2020 Пройти тест
• 

  Как полюбить себя каждому из знаков зодиака

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 258 307 просмотров — 23 января 2020 Пройти тест
• 

  Слабо ли вам решить эти задачки по математике?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 136 245 просмотров — 23 января 2020 Пройти тест
• 

  Хорошо знаешь историю СССР? Готов ответить на 8 вопросов, которые сумеет пройти далеко не каждый?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 218 355 просмотров — 23 января 2020 Пройти тест
• 

  Готовы ли Вы к новой любви?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 255 338 просмотров — 23 января 2020 Пройти тест
• 

  Узнать книгу по одной лишь фразе смогут только те, кто в школе учились на одни пятёрки

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 252 378 просмотров — 23 января 2020 Пройти тест
• 

  Ни у кого не получается набрать 10/10 баллов в этом тесте по географии

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 319 472 просмотров — 23 января 2020 Пройти тест

Популярные тесты от Андрей

• 

  Если вы наберете 11/12 в этом тесте на эрудицию, то такого начитанного и разностороннего человека еще поискать

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 473 983 960 307 просмотров — 04 августа 2019 Пройти тест
• 

  Хватит ли вашей эрудиции, чтобы пройти этот тест без помощи интернета?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 303 494 455 587 просмотров — 07 августа 2019 Пройти тест
• 

  Сможете ли вы пройти тест для разведчиков?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 407 960 741 639 просмотров — 24 июля 2018 Пройти тест
• 

  Не заглядывая в Гугл, сможете ответить хотя бы на половину вопросов этого теста?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 332 782 511 761 просмотров — 22 августа 2019 Пройти тест
• 

  Если ответите на все вопросы нашего теста без ошибок, то можете считать себя уникумом с высоким IQ

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 362 217 547 063 просмотров — 25 февраля 2019 Пройти тест
• 

  Тест, который проверит вашу эрудицию: где вы на шкале от 0 до 12?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 1 126 306 2 101 428 просмотров — 18 февраля 2019 Пройти тест
• 

  Тест Роршаха расскажет, что сейчас творится у вас в голове

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 346 730 470 217 просмотров — 22 февраля 2019 Пройти тест
• 

  Сколько ты можешь выиграть в «Кто хочет стать миллионером?»

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 629 963 1 076 665 просмотров — 21 августа 2018 Пройти тест
• 

  Тест на эрудицию, который мы с треском завалили. Что насчет вас?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 581 173 874 440 просмотров — 13 марта 2019 Пройти тест
• 

  Тест по советским фильмам: Кто из актеров сказал эти известные всем слова?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 354 141 526 141 просмотров — 06 февраля 2019 Пройти тест
• 

  Хватит ли вам фоновых знаний, чтобы ответить на рандомные вопросы из разных областей?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 280 658 422 290 просмотров — 10 марта 2019 Пройти тест
• 

  Блесните своей эрудицией, ответив на 70% вопросов верно

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 467 059 1 235 795 просмотров — 26 февраля 2019 Пройти тест

Популярные тесты

• 

  Главный тест на общие знания: насколько ты умён?

  HTML-код Всякие Научные Штуки Количество прохождений: 407 396 539 115 просмотров — 28 февраля 2019 Пройти тест
• 

  Тест на знание популярных пород собак

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 217 515 490 965 просмотров — 21 декабря 2018 Пройти тест
• 

  Никто не может ответить больше чем на 7 из 10 вопросов в этом тесте на IQ

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 231 708 398 232 просмотров — 25 октября 2019 Пройти тест
• 

  У вас должно быть как минимум два образования, чтобы пройти этот тест хотя бы на 9/12

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 247 721 418 083 просмотров — 12 февраля 2019 Пройти тест
• 

  Если вы закончите представленные 15 фраз, то вы настоящий интеллектуал!

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 340 261 540 183 просмотров — 06 марта 2019 Пройти тест
• 

  Тест на общие знания, который по зубам не каждому

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 402 195 592 066 просмотров — 22 февраля 2019 Пройти тест
• 

  Тест из одного вопроса, ответить на который правильно не может почти никто. Попробуете себя?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 322 556 441 807 просмотров — 22 января 2019 Пройти тест
• 

  Если вы ответите верно на все наши каверзные вопросы, то точно не зря получали высшее образование

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 242 258 347 442 просмотров — 22 марта 2019 Пройти тест
• 

  Не заглядывая в Гугл, сможете ответить хотя бы на половину вопросов этого теста?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 332 782 511 761 просмотров — 22 августа 2019 Пройти тест
• 

  Угадайте воинские звания России по погонам

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 462 455 677 509 просмотров — 11 марта 2019 Пройти тест
• 

  Никто не может угадать, какое из этих колец самое дорогое

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 1 178 234 1 377 045 просмотров — 20 февраля 2019 Пройти тест
• 

  Тест на грамотность: Технарь вы или гуманитарий?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 332 460 455 469 просмотров — 15 января 2019 Пройти тест
• 

  Сможете ли вы набрать 10/10 баллов в нашем тесте на общие знания?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 504 112 727 981 просмотров — 06 марта 2019 Пройти тест
• 

  К какому типу женщин вы относитесь?

  HTML-код Никитин Константин Количество прохождений: 218 763 288 445 просмотров — 24 февраля 2017 Пройти тест
• 

  Умеете ли вы готовить? Сложный кулинарный Блиц-тест ресторатора Ивана Шишкина

  HTML-код Администратор Количество прохождений: 223 638 444 314 просмотров — 01 декабря 2016 Пройти тест
• 

  Тест на широкий кругозор: сможете ли вы ответить хотя бы на половину вопросов?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 474 866 923 379 просмотров — 28 февраля 2019 Пройти тест
• 

  Тест на общую эрудицию. Сумеешь набрать хотя бы 10 баллов?

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 321 182 487 281 просмотров — 12 июня 2018 Пройти тест
• 

  Простейший тест на IQ из нескольких вопросов

  HTML-код Администратор Количество прохождений: 262 353 422 306 просмотров — 09 декабря 2016 Пройти тест
• 

  Тест на общие знания: Только редкий эрудит способен набрать все 12 правильных ответов

  HTML-код Андрей Количество прохождений: 233 346 441 642 просмотров — 19 июня 2019 Пройти тест
• 

  Насколько Ваш мозг пошлый?

  HTML-код Никитин Константин Количество прохождений: 578 724 1 186 060 просмотров — 20 декабря 2016 Пройти тест

/Какой у Вас тип ума?/ — Трикки — тесты для девочек

Каждый человек умный, но по-своему.

Пять, что за вопрос?

Семь кажется…/Другое количество.

Одиннадцать!

Их тут много. Особенно учитывая то, как моё воображение работает)

Да!

Ну…чуть-чуть.

Нет.

И да и нет)

Просто узор.

Переплетающиеся круги.

Треугольники.

Всё)

Чёрный.

Белый.

Никакой.

Я вижу смешанные цвета. Их несколько.

5. Чем любите заниматься в свободное время?

Читать.

Всегда по-разному.

Решать примеры, логические задачи…

Рисовать и сочинять истории.

6. Продолжите фразу. Любовь — это…

Мания к конкретным людям.

Чувство, с помощью которого мы испытываем привязанность.

Странное и иногда сильно мучающее чувство.

Дар высших сил и самое сильное чувство.

Да.

Вроде да.

Нет. Тишина.

Хочу — слышу, не хочу — нет)

Фокус какой-то.

Просто стул необычный.

Здесь нет ничего особенного. Просто глазу так кажется.

По-моему все выше варианты правильные.

Природу.

Похоже здесь две картины.

Лицо…

Женское лицо.

Котик.

Точно не могу сказать.

Мышь на чёрном фоне.

На этой картине можно увидеть кота и мышь.

Нет. Только полосы.

Тут что-то ещё есть…Кроме полос.

Лицо!

Лицо девушки в очках.

12. Просто выберите.

(O-O)

=)

=Р

😊

Против часовой.

Не знаю)

По часовой.

Я повелитель всего) В какую захочу — в ту и крутится.

Тесты на склад ума — математик или гуманитарий?

Каждому, наверное, известно о делении людей по типу склада ума на гуманитариев и математиков. У заботливых мам с первых лет жизни ребенка возникает интерес, как проявляется каждый из них в различном возрасте и чем лучше занять малыша в зависимости от типа его мышления.

Чем различаются математики и гуманитарии?

Если у вашего ребенка математический склад ума, значит ему легко будут даваться точные науки. При этом, скорее всего, у него с ранних лет хорошая память, развито логическое мышление, а решение сложных загадок и головоломок для него в радость.

Если же у малыша гуманитарный склад ума, то решение задач на логику ему в тягость. Считается, что гуманитарии — люди возвышенные, творческие, с хорошо развитой фантазией и интуицией, лишенные стандартов и «рамок», с неограниченным мышлением. Они часто прекрасно рисуют, обладают музыкальным слухом, у них развито чувство прекрасного.

Тест на определение наклонностей ребенка в раннем возрасте

Если ваш ребенок:

1. Обожает раскрашивать.
2. Не умеет решать простейшие головоломки для малышей его возраста.
3. Требует доказательства правдивости сказки.
4. Имеет отличное обоняние, тонко реагирует на запахи.
5. Предпочитает игры типа «memory», лото, шашки.
6. Любит сюжетно-ролевые игры (в «дочки-матери», «войнушку»).
7. Очень трезво и четко мыслит, поражая родителей и их знакомых.
8. Любит реалистичные истории про детей или животных больше сказочных рассказов.
9. Боится темноты.
10. Много говорит, часто придумывает интересные сказки, истории.

Ответы «да» на вопросы 1, 2, 4, 6 и 10 свидетельствуют о том, что ваш малыш, скорее, гуманитарий. Ответы «да» на вопросы 3, 5, 7, 8 и 9 говорят о том, что у него, наверное, математический склад ума.

Чем лучше занять малыша, чтобы развивать его способности с детства?

Определить, кем будет ваш ребенок в будущем, когда он еще маленький, достаточно трудно. Основной задачей родителей является не научить его как можно раньше читать или писать, а научить его самостоятельно рассуждать и логически мыслить, ведь именно эти качества во взрослой жизни помогут ему в любой выбранной им профессии анализировать ситуации.

Это не так сложно. Начните с чтения сказок, но после прочтения задайте ребенку несколько вопросов о том, что он услышал. Пусть малыш попробует придумать для истории собственную концовку. Покупайте ему книжки-раскраски, альбомы для рисования, вместе с ним принимайте участие в занятиях. Хорошо, если у вас дома будут какие-либо музыкальные инструменты. И можете быть уверены, что всесторонне развитый с детства малыш не станет только лишь «математиком» или «гуманитарием». Если вы научите его мыслить масштабно, у него не будет проблем в обучении ни в одном из школьных предметов.

Как детей разделяют по складу ума

В принципе, каждый человек рождается с задатками к любому виду деятельности, ведь мудрая природа щедро наделяет нас возможностями. Но не у каждого человека эти задатки развиваются в способности.

Пока ваш ребенок не перейдет в среднюю школу, будет очень трудно точно определить, к чему он больше склонен, да и нужно ли? В младших классах начальной школы обучение направлено на развитие способностей, которые необходимы для овладения любой областью знаний, а в будущем и любой профессией — другими словами, ребенка учат учиться. И это правильно, ведь психические процессы, которые влияют на формирование специальных способностей ребенка, развиваются до старших классов, и только к 13-14 летнему возрасту заканчивается формирование разных видов мышления. Вот теперь-то и становится заметно, какие школьные предметы вашему ребенку даются легко и с удовольствием, а какие не вызывают особого интереса.

Конечно, надо учитывать, что не всегда интерес к школьным предметам и оценки дают реальное представление о способностях ребенка. Ньютона в школе считали умственно отсталым. Умный, талантливый, одаренный ребенок в школе может быть как отличником, так и двоечником. Оценки часто зависят не только от интеллекта, но и от психологических особенностей ученика, и характера его отношений с учителями.

На самом деле разделение на математиков и гуманитариев не опирается на какие-либо серьезные исследования в области мозга. Чаще всего такими штампами награждают учеников школьные учителя. Если ребенок не смог быстро дать ответ на уроке, моментально решить в уме пример, растерялся у доски, сразу готов диагноз — гуманитарий, не дано ему решать задачи. Но на самом деле причиной такого поведения ребенка на уроке может быть простое стеснение или особенности его нервной системы.

Какие тесты определяют наклонности к изучению наук у ребенка?

Профессиональные психологи разработали массу специальных тестов для определения наклонностей детей разного возраста. Если вы хотите выяснить заранее склад ума своего ребенка, обратитесь к профессиональному психологу. Специалист предложит ему продолжить логические цепочки, найти лишнее и даст другие задания, чтобы определить уровень развития у него абстрактного мышления, пространственного воображения.

Если способности вашего ребенка еще не выражены столь однозначно, дайте ему попробовать себя в как можно больших видах деятельности. Пусть он делает то, что ему нравится: посещает творческие кружки, собирает модели, рисует, поет, танцует. Главное – занятие должно приносить искреннюю радость.

математический и технический ум и смекалка

Все люди совершенно разные, каждый из нас наделен уймой талантов и качеств, однако не все из них проявляются. Наиболее интересной такой особенностью является аналитический склад ума. Люди, наделенные способностями аналитика, руководствуются холодной логикой, практически никогда не прибегая к эмоциям. Говоря о физиологии этого явления можно говорить о развитом левом полушарии мозга, поскольку именно оно отвечает в нашем организме за логическое мышление и математический склад ума.

Такой человек чаще всего бывает прагматиком по отношению к жизни, он во всем старается искать смысл и все раскладывать по полочкам, он способен прийти к правильному выводу, даже если количество известных фактов крайне мало.

Дети, имеющие аналитический склад ума, проявляют наибольшие способности в точных науках, в этом им помогает так называемая математическая смекалка.

Например, в алгебре ученик может быть неимоверно успешен, в то же время в науках абстрактных, направленных на действия с воображаемыми объектами (например, геометрия), его успехи могут быть даже ниже среднего. Определить уровень таких способностей у человека можно посредствам использования различных тестов.

Практическая сторона аналитического мышления

С точки зрения психологии данный тип мышления, это способность человека использовать логику при анализе информации и принятии решений. Так же нельзя не упомянуть о том, что он включает в себя понятие «математическая смекалка».

Можно выделить несколько фундаментальных аспектов характеризующих аналитический склад ума:

• выделение отдельных составляющих во всем массиве информации;
• способность к всестороннему анализу, как начальной информации, так и выделенных структур;
• построение логических доводов и цепочек умозаключений, что позволяет сделать верный вывод, даже при недостатке исходных данных;
• возможность увидеть различные варианты решения той или иной задачи.

Способность предугадать ход событий является очень важной и удобной особенностью таких людей. Однако не всегда это приносит радость самому аналитику.

Проблемы людей с аналитическим складом ума

В целом человек, обладающий таким, техническим, складом ума, всегда собран и рационален, у него очень сильно развита математическая смекалка. Однако, ему чужда «романтика» и спонтанные решения, все в своей жизни он высчитывает до малейших подробностей и очень сильно раздражается, когда что-то идет не так, как он задумал. Ему свойственно употребление фраз: «Математика ум в порядок приводит», и тому подобных.

Презентация: «Аналитическое мышление»

1. Постоянный информационный голод. Аналитический ум всегда находиться в состоянии поиска новой информации и очень часто информация эта оказывается довольно сомнительного качества;
2. Постоянные колебания. Обычный человек в спорной ситуации чаще всего занимает одну из позиций и придерживается ее. В то время как аналитик, подвергнув тесту обе точки зрения, находит в каждой свои плюсы и минусы, не учитывая при этом эмоциональную составляющую спора. Из-за таких ситуаций, они очень сложно сходятся с людьми;
3. Нерешительность аналитика, может оказаться лишь поверхностной. На самом деле, чаще всего в погоне за сбором недостающих фактов, человек просто теряет из виду момент принятия решения;
4. Постоянство. Для людей имеющих аналитический склад ума, характерно понятие «зоны комфорта», в которую никто не должен вторгаться. Попытка изменить распорядок действий надолго выбивает таких людей из колеи;
5. Проблемы с адаптацией в социуме. Буквальное восприятие любых вопросов и действий и прямолинейные ответы на них не способствуют наличию большого числа друзей, в то же время сами аналитики очень остро реагируют на критику в свой адрес;
6. Скептическое отношение ко всему. Убедить такого человека, в чем-либо крайне сложно. Требуются фактические доказательства того, что ему это действительно нужно, эмоциональные утверждения в данной ситуации не будут иметь никакого эффекта;
7.  Не способность к маркетингу. Невозможно заставить такого человека расхваливать продукт, в котором он видит явные недостатки. То же самое касается и самого аналитика, не редко при устройстве на новую работу, такие люди посреди теста на «профпригодность» заявляют: «Я вам не подхожу» и уходят. Помимо этого, технический склад ума требует наличия спецификаций для каждого приобретаемого товара;
8. Люди с подобным складом ума, предпочитают проводить время в одиночестве, из-за этого их часто считают отшельниками.

 Презентация: «Тест: Узнай свой тип мышления»

Исследования аналитических способностей

Исследования проводятся для того, чтобы определить, действительно ли человек обладает такими возможностями. Проводится это зачастую на собеседованиях во время устройства на работу, ведь именно аналитические качества превыше всего ценятся в сфере финансов и бизнеса.

Чтобы подтвердить наличие и выяснить уровень способностей, в первую очередь кандидатам предлагают пройти соответствующий тест. Однако не многие доверяют его результатам.

Во-первых, он может оказаться неактуальным, во-вторых, находясь в ситуации стресса человек, может не до конца проявить свои способности и, в-третьих, многие предпочитают «живое» общение. Если все же тест сдан относительно успешно, кандидату могут предложить стажировку, во время которой, он либо подтверждает, либо опровергает результаты теста.

Привычки людей с математическим складом ума / Wirex corporate blog / Habr

Далее мы приводим оригинальный перевод статьи с блог-платформы Medium, посвященной привычкам, которыми обладает каждый математик.

Один из самых популярных вопросов, которые студенты задают преподавателям математики, звучит так: «Где вообще мне это пригодится?». Немногим учителям удается сразу дать резонный ответ, выходящий за рамки общепринятой точки зрения. Обычно они дают стандартное объяснение на тему полезности развития «критического мышления» и на этом конкретика заканчивается. В то же время эти же учителя должны уметь с невозмутимым видом рассказать своим студентам о важности знания производной арккосинуса.

Предлагаю вам свой список. В него я включил реальные, четко сформулированные навыки, которые, будучи хорошенько освоены студентами, пригодятся им на практике и будут полезны в жизни за рамками их математической деятельности. Некоторые из них имеют прикладной характер: математики используют каждый день для рассуждения о сложных, разносторонних задачах. Другие полезны в социальном плане и позволяют вам натренировать свой эмоциональный интеллект, столь необходимый каждому, кто хочет преуспеть в сфере деятельности, где почти все свое время приходится проводить в попытках понять то, чего в действительности не существует. Все они изучаются в своем чистейшем виде в рамках математики.

А вот и сам список:

1. Умение четко формулировать определения
2. Обдумывание примеров и контрпримеров
3. Умение часто ошибаться и признавать свои ошибки
4. Оценка следствий утверждения
5. Способность рассматривать предположения, лежащие в основе утверждения, отдельно друг от друга
6. Метод «лестницы абстракции»

Умение четко формулировать определения

Позвольте начать с математического примера, имеющего некоторое отношение к реальному миру. Поговорим о «случайном». Концепция случайности мозолила глаза математикам на протяжении почти всей новейшей истории науки, поскольку дать точное определение тому, какое событие может называться случайным, довольно сложно. Ученые-статистики решают эту головоломку, считая случайными не вещи, а процессы и, соответственно, полагая, что вычислить вероятность события можно, опираясь на результаты процессов. Так можно вкратце охарактеризовать понятие, которое, несмотря на свою простоту, лежит в основе едва ли не всей статистики.

Тем не менее это не единственное определение случайности. Возьмем, например, ситуацию с подбрасывание монетки. Последовательность ОРООРОООРРРОРООРООРО покажется нам вполне случайной, тогда как двадцать одинаковых «орлов» подряд мы ни за что не захотим признать случайным стечением обстоятельств. Математики посмотрели на эту ситуацию и решили, что статистического определения случайности недостаточно и изобрели второе определение под названием «сложность по Колмогорову». Грубо говоря, событие называется «случайным по Колмогорову», если самая короткая воспроизводящая его компьютерная программа по сути состоит из этого события. Сразу замечу, что определение «компьютера» здесь используется чисто математическое, т. е. речь идет не о современных компьютерах, а о том понятии, с которым оперировал еще Алан Тьюринг. Говоря более простым языком, можно представить, что случайное по Колмогорову событие требует, чтобы вы описали его целиком в исходном коде воспроизводящей его компьютерной программы.

Из колмогоровской сложности выросла отдельная замечательная область математики и вычислительной теории, но на этом наша история не заканчивается. Изучая и развивая это направление, математики вскоре обнаружили, что для многих событий колмогоровская сложность расчету не поддается и поэтому использовать ее для решения практических задач бывает очень трудно. Требовалось определение, способное описать числа, которые выглядели бы случайно и были достаточно случайны для практического применения, даже несмотря на свою фактическую неслучайность в колмогоровском смысле. Результатом этих поисков было применяемое сегодня определение криптографически безопасной случайности.

Упрощенное определение случайности с точки зрения криптографии предполагает, что ни одна эффективная компьютерная программа, ставящая своей целью определить различие между псевдослучайными и истинно случайными событиями (в статистическом понимании), не будет иметь в этом деле значительного преимущества по сравнению с попыткой угадать результат с вероятностью 50 на 50. Такой подход гарантирует, что ваша последовательность чисел будет достаточно случайной, чтобы ваши враги оказались неспособны определить, какие числа вы будете использовать, потому что их попытки сделать точные вычисления будут сопоставимы по времени со сроком их жизни. Это и есть основа современной криптографии, взяв на вооружение которую, инженеры спроектировали системы, поддерживающие безопасность и конфиденциальность наших интернет-коммуникаций сегодня.

Итак, математики потратили немало времени, размышляя над определениями, что в конечном счете повлияло на то, как мы используем математику в реальном мире. Тем не менее я не считаю это аргументом в пользу необходимости обучать математике всех.

Как же размышление над определениями может помочь людям в реальном мире? Давайте рассмотрим конкретные примеры. Первым будет случай Кейта Девлина, математика и консультанта, помогавшего оборонным ведомствам США улучшить анализ данных после событий 11 сентября. Описание своей первой презентации он начинает с того, что оказался в помещении с большой группой представителей военных подрядчиков и начал свою беседу с попытки разобраться с определением слова «контекст». Далее я привожу вам основные выдержки из его рассказа.

Я готовил свой PowerPoint-проект… и был уверен, что присутствующие остановят меня на половине презентации, попросят перестать тратить их время и посадят на ближайший самолет до Сан-Франциско.

Дальше одного слайда дело не зашло. Но не потому, что меня выпроводили из кабинета. Просто оставшаяся часть сессии была проведена в обсуждении содержимого того самого слайда… Как мне сказали уже потом: «Всего лишь один этот слайд оправдал твое участие в проекте».

Так что же такого я сказал? На мой взгляд, ничего особенного. Моей задачей было найти способ проанализировать то, как контекст влияет на анализ данных и принятие решений в крайне сложных сферах деятельности, существующих на стыке военных ведомств, политики и социальных факторов. Я сделал ну очень очевидный (для меня) первый шаг. Мне нужно было записать настолько точное математическое определение понятия «контекст», насколько это возможно. На это у меня ушло несколько дней… Не могу сказать, что я был абсолютно доволен результатом… Тем не менее это было лучшим, что я мог сделать, и этот процесс, по крайней мере, дал мне твердое основание для того, чтобы начать развивать некоторые элементарные математические идеи.

Довольно большая группа умных людей, настоящих академиков, военных подрядчиков и старшего персонала Министерства обороны провела весь оставшийся час выделенного мне времени, обсуждая всего лишь одно это определение. Дискуссия выявила, что разные эксперты имели разное понимание того, что такое контекст, а это верный путь к катастрофе. Я же с самого начала задал им вопрос: «Что такое контекст?» Каждый из присутствующих в комнате, не считая меня, имел хорошее рабочее определение этого понятия, однако все определения отличались друг от друга. И никто из участников ранее не предлагал записать единое формальное определение. Они просто не привыкли делать это в рамках своей работы. Как только это было сделано, у них появилась общая отправная точка, позволявшая сравнивать и противопоставлять ей прежде всего собственные идеи. Благодаря этому нам удалось избежать катастрофы.

И даже несмотря на то, что приведенный Девлином конкретный пример консультирования военной разведки очень специфичен, использованная им техника универсальна. Именно она и лежит в основе столь популярного, но очень размытого термина «критическое мышление». Представим ситуацию, когда среднестатистический гражданин, отметающий математические идеи, слушает новости и слышит, как политик говорит: «У нас есть весомое доказательство наличия оружия массового поражения в Ираке». Будь у слушателя хорошее математическое образование, он задался бы вопросом: «Что именно вы понимаете под “весомым доказательством” и “оружием массового поражения”?». Ведь фактически точность этих понятий играет решающую роль в определении того, насколько предлагаемая ответная мера — объявление войны — правомерна. Без понимания определений вы не сможете принять взвешенное решение и высказаться за или против. Впрочем, если вы слушаете новости для развлечения или чтобы почувствовать себя частью политического стада, то истина — последнее, что вас в них интересует.

Каждому из нас приходится иметь дело с новыми определениями, неважно идет ли речь о новом определении брака или половой принадлежности, или о юридических определениях «намерения», «разумности», «неприкосновенности частной жизни». Искушенный математик без промедления заметит, что правительство не может предоставить ни одного полезного определения такого понятия, как «религия». Способность мыслить критически, опираясь на определения — основа любого цивилизованного диалога.

Привычка задумываться об определениях вырабатывается у студентов-математиков еще на раннем этапе своего обучения в ВУЗе и укрепляется в магистратуре и последующих этапах их научной деятельности. Обычно математик сталкивается с новыми определениями ежедневно и происходит это в самых разных контекстах. Ну а само умение уверенно разбираться с понятиями и терминами окажется полезным для каждого, кто его освоит.

Обдумывание примеров и контрпримеров

Математики проводят много времени, придумывая примеры и контрпримеры для самых разных утверждений. Этот пункт очень тесно связан с предыдущим об определениях поскольку:

1. Часто, придумывая новое определение, человек держит в уме набор примеров и контрпримеров, которым оно должно соответствовать. Таким образом, примеры и контрпримеры помогают создавать хорошие определения.
2. Первое, что делает каждый математик, сталкиваясь с новым для себя уже существующим определением, записывает примеры и контрпримеры, способные помочь лучше понять его.

А заключается он в следующем. Работая над задачей, вы изучаете некий математический объект и записываете ту информацию о нем, которую хотите доказать. То есть, вы делаете обоснованную (или необоснованную) догадку о некоторой закономерности, которая характеризует изучаемый объектом. За этим следует доказательство, когда вы пытаетесь подтвердить или опровергнуть утверждение.

В качестве плохой аналогии можно привести догадку о том, что Земля находится в центре вселенной. Вы подкрепляете эту догадку характеристиками объекта, которые удовлетворяют этому утверждению. В нашей Солнечной системе вы могли бы сделать игрушечную модель, показывающую пример того, как, на ваш взгляд, могла бы выглядеть модель вселенной с Землей в ее центре, если бы вселенная могла быть такой же простой, как игрушка. Или же вы, напротив, могли бы выполнить некоторые измерения, включающие в себя учет характеристик Солнца и Луны и получить доказательство того, что это утверждение ложно, и на самом деле Земля вращается вокруг Солнца. Так вот в мире математики это «доказательство» — контрпример и называть его таковым можно, только если его истинность подлежит однозначному подтверждению. «Доказательство» в математике часто выступает всего лишь в роли временного заполнителя, до тех пор, пока истина не будет выявлена. Несмотря на все это, впрочем, существуют некоторые широко известные задачи, над решением которых математики бьются уже сотни лет, так до сих пор и не предоставив для них ничего, кроме «доказательств».

Аналогия эта описывает то, что происходит в математике даже на самом микроскопическом уровне. Когда вы с головой погружаетесь в проект, вы делаете новые небольшие предположения каждые несколько минут, как правило, в итоге опровергая их, поскольку позже вы понимаете, что они были не чем иным, как совершенно необоснованными догадками. Это — очень интенсивный, «прокачанный» научный процесс, состоящий из анализа сотен ложных гипотез, приводящих в итоге к приятному результату. Контрпримеры, которые вы находите по пути, выступают в роли дорожных указателей. Впоследствии они помогают вашей интуиции, и стоит им только прочно укорениться у вас в голове, как процесс принятия или отрицания более сложных догадок становится относительно простым.

И вот мы снова подходим к тому, что способность придумывать интересные и полезные примеры и контрпримеры — один из столпов продуктивного рассуждения. Если вы когда-либо читали протоколы слушания Верхновного суда, например, случая с обсуждением легальности ношения заключенными бороды по религиозным соображениям, вы увидите, что большинство аргументов — проверочные примеры и контрпримеры, позволяющие проверить ранее установленные юридические определения «разумности», «религии» и «намерения» на прочность. Этот подход также нашел бесчисленное количество применений в физике, инженерном деле и вычислительной теории.

Есть и другой, гораздо менее очевидный, но не менее важный момент. В силу того, что на протяжении всей своей карьеры математикам приходится регулярно высказывать столь большое количество неверных, глупых и ложных догадок, они становятся иммунны к слепому принятию утверждений, основанных на силе чьего-либо голоса или культурных предубеждениях. Если мы признаем, что в условиях современного коллективного общества люди стали слишком склонны верить голосам других (политиков, «экспертов» СМИ, финансовых ораторов), тогда изучение математики — прекрасный способ культивировать в людях здравое чувство скептицизма. Этот навык будет одинаково полезен как для инженеров, так и для водопроводчиков, медсестер или сборщиков мусора.

Умение часто ошибаться и признавать ошибки

Подобные ситуации я наблюдаю постоянно, но только в мире математики. Единственная причина, по которой такое может произойти заключается в том, что оба математика, независимо от того, кто из них на самом деле прав, готовы не только принять свою неправоту, но и охотно поменять сторону спора, как только почувствуют в своих аргументах хотя бы малейший изъян.

Иногда в группе из 4–5 человек, обсуждающих некое утверждение, я оказываюсь единственным несогласным с мнением большинства. Если предложенный мной аргумент будет достаточно хорош, каждый из присутствующих немедленно примет тот факт, что он был неправ, сделав это без каких-либо сожалений или негативных эмоций. Чаще, впрочем, я оказываюсь на стороне большинства и вынужден возвращаться назад в своих рассуждениях или пересматривать и совершенствовать свои взгляды.

Привычка поощрять сомнение, быть неправым, признавать это и начинать все сначала как можно чаще — все это отличает математическую дискуссию даже от хваленой научной дискуссии. Здесь вы не увидите никаких попыток добиться нужного показателя p-значения или скрытого лоббирования. Нет в математике места и для стремления прославиться, ведь почти все, что вы говорите, как правило, не покидает пределов небольшой группы участников дискуссии. Математик в деле полностью поглощен процессом поиска истины, а его профессиональные привычки позволяют ему отбросить личную славу или страх позора ради главной цели — проникновения в суть проблемы.

Оценка следствий утверждения

10. Почти все конспирологические теории о Джоне Фицджеральде Кеннеди, по всей видимости, ложны просто потому, что все они противоречат друг другу. Как только вы поймете это и начнете рассматривать их исходя из того, что хотя бы одна из них могла бы быть верна, на вас сразу же снизойдет озарение: вы поймете, что ничто не мешает вам просто отмести их все.

12. Если организаторы заговора были столь могущественны, то почему они ограничились одним только убийством президента, не добившись никаких более впечатляющих результатов? И почему заговорщики не начали еще раньше, с подтасовки выборов, дабы помешать Кеннеди стать президентом? В математике вы часто обнаруживаете недочеты в своем аргументе благодаря пониманию того, что он сам по себе дает вам гораздо больше, нежели вы изначально полагали. И тем не менее все аргументы в пользу конспирации, с которыми я ознакомился, по всей видимости, обладают одним и тем же недостатком. К примеру, что случилось с заговорщиками после успешного выполнения задуманного? Их организация просто расформировалась? Или они продолжили вынашивать планы других убийств и организовывать их? Если этого не произошло, то что им помешало? Разве работа тайных мировых кукловодов не является бессрочной деятельностью? И где вообще, если, конечно, это возможно, заканчивается власть этой организации?

Иногда доведение того или иного аргумента до пределов позволяет получить улучшенную и более элегантную теорему, включающую в себя начальное утверждение. Но гораздо чаще вы просто понимаете, что были неправы. Поэтому эта привычка — менее формальная вариация на тему частых ошибок и придумывания контрпримеров.

Способность рассматривать предположения, лежащие в основе утверждения, отдельно друг от друга

Так, когда математик делает какое-либо утверждение, он, как правило, старается сформулировать базовую идею максимально просто, с целью донести ее до других людей. Обычно это означает, что смысл используемых в формулировке выражений может оказаться неясным для других людей, особенно если разговор происходит между двумя математиками, знакомыми с общим контекстом разговора, а вы в этой ситуации — посторонний человек, пытающийся их понять.

Когда вы оказываетесь в подобной ситуации в математике, вы тратите много времени на то, чтобы вернуться к основам. Вы задаете вопросы вроде: «Что означают эти слова в данном контексте?» и «Какие очевидные попытки уже были предприняты и отклонены и почему?». Стараясь глубже проникнуть в суть вопроса, вы спросите: «Почему именно эти вопросы так важны?» и «Куда вообще ведет эта линия исследования?»

Это и есть методы, которые математик использует, чтобы собрать сведения о предмете обсуждения. Единый лейтмотив такого подхода заключается в изоляции каждой йоты смущающей вас информации, каждого предположения, лежащего в основе того или иного убеждения или утверждения. Этот подход решительно отличается от любых других видов дискуссий, наблюдаемых сегодня в мире.

Пытался ли, например, кто-нибудь основательно понять мировоззрение Дональда Трампа в ходе его подготовки к весьма спорным президентским выборам этого года? Большинство либералов слышат только: «Я построю стену и заставлю Мексику платить за это», смеясь над Трампом и объявляя его сумасшедшим. Применяя математический подход к этому утверждению, для начала необходимо понять, где оно берет свое начало. К какой целевой аудитории Трамп апеллирует? Какие альтернативные способы решения иммиграционной проблемы он рассмотрел и исключил и почему? Почему иммиграция — столь важная для его сторонников тема, и какие предположения в его логике приводят к подобным решениям? Что такого особенного понимает и знает Трамп, что делает его предвыборные предложения столь популярными?

Нет, я не пытаюсь занять ту или иную политическую позицию. Я всего лишь хочу обратить ваше внимание на то, что если математик окажется в крайне неоднозначной ситуации, раздельный анализ предположений, лежащих в основе того или иного утверждения, будет частью общей схемы его действий. Феномен «либеральные СМИ недооценивают Трампа» обязан своим существованием во многом именно нежеланию задать вопросы, подобные приведенным выше, и получить на них ответы. Вместо этого, противники Трампа всего лишь делают твиты с цитатами его заблуждающихся и оторванных от реальности сторонников. Однако, если верить результатам опросов, такой подход не приносит ощутимых результатов…

«Лестница абстракции»

На более высоком уровне (более высокой ступеньке) вы можете контролировать разные параметры алгоритма (и время) с помощью слайдера, превращая один вариант алгоритма в целое семейство производных алгоритмов, каждый из которых также может быть отлажен. Вы можете и далее обобщать то, какие параметры и варианты поведения могут поддаваться отладке, чтобы расширить пространство возможных вариантов алгоритмов. Так, в ходе работы вы ищете обобщенные схемы действия, которые могут помочь вам добиться конечной цели — разработки качественного алгоритма вождения автомобиля с точки зрения самого низкого уровня, с которого и началась ваша работа.

Математики регулярно применяют этот прием, особенно на более позднем этапе обучения в магистратуре, когда вам нужно научиться обрабатывать огромное количество исследований. Там у вас нет времени на глубокое изучение каждой части и каждого утверждения в той или иной работе, за исключением разве что самых важных из них. Вместо этого вы создаете «лестницу абстракции», нижняя ступень которой содержит отдельные определения, теоремы и примеры из работы, следующий уровень — ее обобщенное содержание, а более высокий уровень рассматривает то, как данная работа соотносится с другими исследованиями и вписывается в более широкий математический контекст. Еще выше идут системообразующие для этой области знаний тенденции, то, что считается для нее важным, модным и так далее.

Вы можете начать с самой нижней ступеньки лестницы, разобрав и поняв несколько примеров определений и получив тем самым надежный ориентир, после чего перепрыгнуть к основной теореме работы и понять, какие именно улучшения она предлагает по сравнению с предыдущей работой в этой области. В ходе чтения вы можете натолкнуться на какую-нибудь технику из незнакомой вам области, придуманную в 50-х. Просто воспользуйтесь ей как готовым решением, сосредоточившись на более полезном для вас доказательстве основной теоремы, и спустившись, таким образом, на одну ступень ниже. После этого вы можете перейти к главам, посвященным нерешенным задачам, чтобы посмотреть, что еще осталось сделать в этой области, и если они покажутся вам достаточно заманчивыми, вы можете подготовить себя к работе над ними путем внимательного прочтения остальной части работы.

На самом деле математикам приходится упражнять свои «абстрагирующие мышцы» всякий раз, когда они рассказывают о собственной работе. Публика на лекциях бывает разная, и каждый слушатель может оценить содержание математической идеи на разном уровне детализации. Некоторые теоремы лучше всего поддаются объяснению на примере соревновательных игр и их контекста, задачи по оптимизации — на других примерах, а в некоторых случаях бывает уместно даже приводить аналогии из металлургии.

Пожалуй, можно сказать, что объединение информации со всех ступенек лестницы в единую гармоничную модель, которую вы сможете рассматривать самостоятельно и в нужном вам масштабе — одна из распространенных и непростых задач в мире математики. Виктор старается упростить это упражнение для ума путем разработки функционального пользовательского интерфейса. Другие же математики практикуют его с помощью самых разных техник, которые попадают к ним в руки. Так или иначе, каким бы ни был подход, конечный результат всегда представляет большую ценность.

Заключение

Более того, чтобы свыкнуться с необходимостью «всегда быть неправым», часто требуется несколько первых лет полноценной работы. Из-за этого многие студенты, не имеющие поддержки товарищей на том же этапе обучения или хорошего примера для подражания бросают занятия. Карьера математика действительно представляет собой эмоциональные американские горки.

Иными словами, религиозная преданность описанным выше принципам в каждой отдельно взятой жизненной ситуации приведет лишь к тому, что люди будут отрицательно к вам относиться или вы сами будете чувствовать себя бесполезным шутом. Все дело в понимании того, когда именно следует вооружиться навыками математического мышления, способными, словно нож шеф-повара, безопасно и эффективно порезать идеи и аргументы на мелкие кусочки и отделить их от всего лишнего.

Продолжайте следить за обновлениями блога банковского блокчейн-сервиса Wirex и будьте среди первых, прочитавших наиболее обсуждаемые материалы из зарубежных источников, переведенные специально для пользователей Geektimes.