Взаимно как это понять: Взаимно | это… Что такое Взаимно?

Что такое взаимно простые числа?

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Взаимность — чувство симпатии, позитивный ответ. А как обстоят дела со взаимностью в математике — узнаем в этой статье. Разберемся, какие два числа называют взаимно простыми и научимся их определять.

Определение взаимно простых чисел

Сначала определимся, что значит простое число.

Главное свойство простых чисел в том, что простое число делится только на единицу и на само себя.

Например, 13 является простым, так как нацело делится только на 1 и на 13.

Таких чисел немного, большинство все-таки можно разделить на другие числа. В простых числах самое важное — это деление нацело. Дробные частные и деление с остатком не рассматриваем.

Понятие взаимно простых чисел можно применить для двух целых чисел или для большего количества. Сформулируем, какие числа называются взаимно простыми.

Взаимно простые числа

Два целых числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице — то есть НОД (a, b) = 1.

Проще говоря, взаимно простые числа — это целые числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы.

А теперь вспомним определение НОД.

Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать так: НОД (a, b).

Числа, которые содержат больше двух множителей, то есть делятся на несколько чисел, называют сложными . Сложные числа состоят из перемноженных простых.

Наибольший общий делитель взаимно простых чисел — это единица, что следует из определения взаимно простых чисел.

Из определения взаимно простых чисел можно сделать вывод, что у двух взаимно простых чисел может быть только один положительный общий делитель, который равен единице. А всего общих делителей у двух взаимно простых чисел два — это 1 и -1.

Приведем примеры взаимно простых чисел.

Числа 13 и 16 взаимно простые потому, что их положительный общий делитель — единица, что подтверждает взаимную простоту чисел 13 и 16.

Заметим, что два простых числа всегда являются взаимно простыми. Однако, два числа не обязательно должны быть простыми, чтобы быть взаимно простыми. Вот такая математика в 5 классе. И еще раз: либо одно из них, либо они оба могут быть составными и при этом являться взаимно простыми. Приведем пример.

Два составных числа 8 и -9 являются взаимно простыми. Как доказать что числа взаимно простые? Объясним:

Сначала найдем НОД этих чисел, то есть запишем все делители чисел 8 и -9.

Делители 8: ±1, ±2, ±4, ±8.

Делители -9: ±1, ±3, ±9.

Из этого следует, НОД (8, -9) = 1, поэтому, по определению 8 и -9 — два взаимно простых числа.

А вот числа 45 и 500 нельзя назвать взаимно простыми, так как у них есть положительный общий делитель, отличный от единицы — это число 5. Числа 3 и -201 тоже не взаимно простые, так как у них общий положительный делитель — тройка.

На математике в 5 и 6 класса часто встречаются задания, в которых нужно доказать, что конкретные целые числа являются взаимно простыми. Из чего обычно состоит такое доказательство:

вычисление наибольшего общего делителя заданных чисел,
проверка НОД на его равенство единице.

Перед вычислением НОД можно заглянуть в таблицу простых чисел и проверить, вдруг исходные целые числа можно назвать простыми.

Тогда решение будет проще, так как мы знаем, что НОД простых чисел равен единице.

Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.

Повторим еще раз. Что значит взаимно простые числа? Это целые числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы.

Пример 1

Доказать, что числа 84 и 275 являются взаимно простыми.

Как докажем:

Сверяемся с таблицей простых чисел. 84 и 275 не являются простыми, поэтому нельзя сразу сказать об их взаимной простоте.

Вычислим НОД. Используем алгоритм Евклида для нахождения НОД:

275 = 84 * 3 + 23

84 = 23 * 3 + 15

23 = 15 * 1 + 8

15 = 8 * 1 + 7

8 = 7 * 1 + 1

7 = 7 * 1

НОД (84, 275) = 1

Доказали, что числа 84 и 275 взаимно простые.

Определение взаимно простых чисел можно расширить для трех и большего количества чисел.

Целые числа a ₁ , a ₂ ,…, a _k , где k > 2 называются взаимно простыми , если наибольший общий делитель этих чисел равен единице.

То есть если у некоторого набора целых чисел есть положительный общий делитель, отличный от единицы, то эти целые числа не являются взаимно простыми.

Рассмотрим примеры.

Любая совокупность простых чисел составляет набор взаимно простых чисел, например, 2, 3, 11, 19, 151, 293 и 677 — взаимно простые числа. А четыре числа 12, −9, 900 и −72 не являются взаимно простыми, так как у них есть положительный общий делитель 3. Числа 17, 85 и 187 тоже не взаимно простые, потому что каждое из них можно разделить на 17.

Как определить взаимно простые числа:

найти наибольший общий делитель этих чисел,
сделать вывод на основании определения взаимно простых чисел.

Пример 2

Являются ли числа 331, 463 и 733 взаимно простыми?

Как рассуждаем:

Заглянем в таблицу простых чисел. Видим, что 331, 463 и 733 — простые. Значит, у них есть единственный положительный общий делитель — единица. Поэтому, 331, 463 и 733 есть взаимно простые числа.

Ответ: да.

Пример 3

Доказать, что числа −14, 105, −2 107 и −91 не являются взаимно простыми.

Как рассуждаем:

Найдем НОД заданных чисел и убедимся, что он не равен единице.

Делители целых отрицательных чисел совпадают с делителями соответствующих противоположных чисел. Поэтому НОД (−14, 105, 2 107, −91) = НОД (14, 105, 2 107, 91). Посчитаем:

НОД (14, 105, 2 107, 91) = 7.

Мы получили, что наибольший общий делитель исходных чисел равен семи, поэтому эти числа не являются взаимно простыми. Доказали.

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Свойства взаимно простых чисел

У взаимно простых чисел есть определенные свойства. Рассмотрим основные свойства взаимно простых чисел.

Свойство 1

Числа, которые получились при делении целых чисел a и b на их наибольший общий делитель, называются взаимно простыми. То есть, a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Это свойство взаимно простых чисел помогает находить пары взаимно простых чисел. Для этого достаточно взять два любых целых числа и разделить их на наибольший общий делитель. В результате получим взаимно простые числа.

Свойство 2

Необходимое и достаточное условие взаимной простоты чисел a и b — это наличие таких целых чисел u₀ и v₀ , при которых будет верным равенство au₀ + bv₀ = 1.

Докажем эту необходимость:

Пусть числа a и b взаимно простые. Тогда по определению взаимно простых чисел НОД (a, b) = 1. А из свойств НОД мы знаем, что для целых чисел a и b верно соотношение Безу au

0 + bv₀ = НОД (a, b). Следовательно, au₀ + bv₀ = 1.

Соотношение Безу — представление НОД целых чисел в виде их линейной комбинации с целыми коэффициентами.

Докажем достаточность:

Пусть верно равенство au₀ + bv₀ = 1. Так как НОД (a, b) делит и a и b, то НОД (a, b) в рамках свойств делимости может делить сумму au₀ + bv₀ , а значит, и единицу. А это возможно только когда НОД (a, b) = 1. Следовательно, a и b — взаимно простые числа.

Свойство 3

Если числа a и b взаимно простые, и произведение ac делится на b — значит c делится на b.

Действительно, так как a и b взаимно простые, то из предыдущего свойства у нас есть равенство au

0 + bv₀ = 1. Если умножть обе части этого равенства на c, получится acu₀ + bcv₀ = c.

Первое слагаемое суммы acu₀ + bcv₀ делится на b, так как ac делится на b по условию, второе слагаемое этой суммы также делится на b, так как один из множителей равен b. Можно сделать вывод, что вся сумма делится на b. А так как сумма acu₀ + bcv₀ равна c, то и c делится на b.

Свойство 4

Если числа a и b взаимно простые, то НОД (ac, b) = НОД (c, b).

Покажем, во-первых, что НОД (ac, b) делит НОД (c, b), а во-вторых, что НОД (c, b) делит НОД (ac, b), это и будет доказывать равенство НОД (ac, b) = НОД (c, b).

НОД (ac, b) делит и ac и b, а так как НОД (ac, b) делит b, то он также делит и bc. То есть, НОД (ac, b) делит и ac и bc, следовательно, в силу свойств наибольшего общего делителя он делит и НОД (ac, bc), который по свойствам НОД равен c * НОД (a, b) = c.

Таким образом, НОД (ac, b) делит и b и c, следовательно, делит и НОД (c, b).

С другой стороны, НОД (c, b) делит и c и b, а так как он делит с, то также делит и ac. Поэтому НОД (c, b) делит и ac и b, следовательно, делит и НОД (ac, b).

Так мы показали, что НОД (ac, b) и НОД (c, b) взаимно делят друг друга, значит, они равны.

Свойство 5

Если числа из последовательности a₁ , a₂ , …, a_k будут взаимно простыми с каждым из чисел b₁ , b₂, …, b_m (где k и m — некоторые натуральные числа), то произведения a₁ * a₂ *…*a_k и b₁ *b₂ *…*b_m есть взаимно простые. В частности, если a₁ = a₂ =…= a_k = a и b₁ = b₂ =…= b_m = b, то a_k и b_m — взаимно простые числа.

Предыдущее свойство взаимно простых чисел поможет намзаписать ряд равенств вида:

НОД (a₁ *a₂ *…*a_k , b_m ) = НОД (a₂ *…*a_k , b_m ) =…= НОД (a_k , b_m ) = 1, где последний переход возможен, так как a_k и b_m взаимно простые по условию.

Итак, НОД (a₁ *a₂ *…*a_k , b_m ) = 1.

Теперь, обозначив a₁ *a₂ *…*a_k = A, имеем НОД (b₁ *b₂ *…*b_m , a₁ *a₂ *…*a_k ) = НОД
(b₁ *b₂ *…*b_m , A) = НОД (b 2 *…*b_m , A) =… = НОД (b_m , A) = 1.

Так мы получили равенство НОД (b₁ *b₂ *…*b_m , a₁ *a₂ *…*a_k ) = 1, которое доказывает, что произведения a₁ *a₂ *…*a_k и b₁ *b₂ *…*b_m являются взаимно простыми.

Определение попарно простых чисел

Через взаимно простые числа можно дадим определение попарно простых чисел.

Попарно простые числа — это последовательность целых чисел a ₁ , a ₂ , …, a _k , где каждое число будет взаимно простым по отношению к остальным.

Приведем пример попарно простых чисел.

14, 9, 17, и −25 — попарно простые, так как пары чисел 14 и 9, 14 и 17, 14 и −25, 9 и 17, 9 и −25, 17 и −25 представляют из себя взаимно простые числа.

Важно!

Попарно простые числа всегда взаимно простые.

При этом, взаимно простые числа далеко не всегда могут быть попарно простыми. Подтвердим на примере. 8, 16, 5 и 15 не являются попарно простыми, так как числа 8 и 16 не взаимно простые. Однако, 8, 16, 5 и 15 — взаимно простые. Таким образом, 8, 16, 5 и 15 — взаимно простые, но не попарно простые.

Остановимся на понятии совокупности некоторого количества простых чисел. Эти числа всегда являются и взаимно простыми и попарно простыми. Например, 71, 443, 857, 991 — и попарно простые, и взаимно простые.

Когда речь идет о двух целых числах, то для них понятия «попарно простые» и «взаимно простые» совпадают.

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

106.

Что такое гипербола

К следующей статье

Взаимно обратные числа

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс

Психологи объяснили, как понять, есть ли взаимное влечение на первом свидании

Свежий номер

РГ-Неделя

Родина

Тематические приложения

Союз

Свежий номер

Общество

15.11.2021 13:11

Сергей Панасенко

Психологи из Лейденского университета (Нидерланды) выяснили, что происходит у людей на физиологическом уровне, если на первом свидании у них возникает взаимное притяжение. У них синхронизируются сердцебиение и потоотделение, утверждается в исследовании, опубликованном в журнале Nature Human Behaviour.

Голландских психологов интересовал вопрос, что именно может сообщать о зарождающейся симпатии, поэтому они «во время реальных свиданий вслепую измеряли динамику физиологических изменений у пар». По словам ученых, это одно из первых исследований, в котором была предпринята попытка обнаружить влечение друг к другу с помощью реальных физиологических показателей.

В эксперименте участвовали 140 мужчин и женщин в возрасте от 18 до 38 лет, которые никогда ранее не были знакомы друг с другом. Для них были специально организованы кабинки для свиданий, где случайно выбранные пары оказывались на 4-минутном свидании. Он и она сидели за столом, отделенные друг от друга барьером, который опускался на три секунды, позволяя им сформировать первое впечатление о своем партнере. Кроме того, испытуемые надевали специальные очки, отслеживавшие движения глаз, а также устройства для измерения сердечного ритма и контроля потливости ладоней. Во время непродолжительного общения пары должны были несколько раз оценить привлекательность собеседника по шкале от 0 до 9.

Результат показал: у тех пар, партнеры которых нашли друг друга привлекательными, а значит, хотели бы продолжить знакомство, синхронизировались определенные физиологические реакции. Их пульс начинал ускоряться и замедляться в одно и то же время. Потливость ладоней увеличивалась и уменьшалась тоже одновременно. «В эти моменты, — говорится в статье, — психическое состояние в паре потенциально способствует ощущению «щелчка» и следующему за этим влечения».

Но что за механизм лежит в основе физиологической синхронности, пока неясен, признают исследователи. Одно из предположений ученых: физиологическая синхронизация потенциально отражает «подлинный эмоциональный обмен». Возможно, не исключает Элиска Прохазкова, руководитель работы, «когда людям кто-то нравится, они бессознательно обращают внимание, например, на расширение зрачков или румянец, и организм реагирует, повторяя эти особенности. В поддержку этой гипотезы наши данные показывают, что в парах, в которых возникало взаимное притяжение, партнеры часто улыбались и подражали друг другу». Другими словами, бессознательные, незаметные и трудно контролируемые реакции организма лежат в основе физиологической синхронизации.

Ценность и значимость нового исследования ученые определяют так: «Физиологическая синхронизация может частично объяснять социальные контексты и, таким образом, обеспечивать лучшее понимание взаимодействий между людьми».

Наука

Взаимное определение и значение | Dictionary.com

Основные определения
Тест
Связанный контент
Примеры

[ myoo-choo-uh-lee ]

/ ˈmyu tʃu ə li /

Сохрани это слово!

См. синонимы к слову взаимно на Thesaurus.com

наречие

таким образом, который является общим или взаимным:Пожалуйста, позвоните, чтобы договориться о встрече в согласованное время.Между двумя организациями есть существенные различия, но они взаимоподдерживающие.

ТЕСТ

МОЖЕТЕ ЛИ ВЫ ОТВЕЧАТЬ НА ЭТИ ОБЫЧНЫЕ ГРАММАТИЧЕСКИЕ СПОРЫ?

Есть грамматические дебаты, которые никогда не умирают; и те, которые выделены в вопросах этой викторины, наверняка снова всех разозлят. Знаете ли вы, как отвечать на вопросы, которые вызывают самые ожесточенные споры по грамматике?

Вопрос 1 из 7

Какое предложение верно?

Происхождение взаимного

взаимного + -ly

ДРУГИЕ СЛОВА ОТ взаимно

не·взаимно·ал·лы, нареч. , наречие · му · ту · ал · лы, наречие

Слова рядом взаимно

взаимное страхование, компания взаимного страхования, взаимность, взаимность, взаимность, взаимно, взаимоисключающие, взаимная сберегательная касса, mutuel, mutule, muumuu

Слова, связанные со словом взаимно

обычно, совместно, взаимно, все сразу, совместно, совместно, массово, соответственно

Как использовать взаимно в предложении

Во-первых, Уолл и звездный защитник Брэдли Бил имеют давние партнерские отношения и взаимное уважение.
Отслеживание свободных агентов НБА (плюс сделки): «Уорриорз» приобретают Келли Обре; 76ers обменивают Эла Хорфорда на Тандер|Бен Голливер|20 ноября 2020 г.|Washington Post
Работники ресторанов без документов вообще никогда не получали льгот и обходились лоскутной благотворительностью и операциями взаимопомощи.
Рестораны и люди, которые в них работают, нуждаются в финансовой помощи. Давайте, наконец, дадим им это. | Меган Маккаррон | 19 ноября., 2020|Eater
Многие организации сосредоточились на небольшом количестве ключевых партнерских отношений, основанных на взаимном доверии.
Глубокое погружение: как будущее издательского дела формируется в эпоху продолжающегося кризиса с коронавирусом|Pierre Bienaimé|17 ноября 2020 г.|Digiday
Банки Уолл-стрит, такие как Deutsche Bank, Goldman Sachs и JPMorgan Chase, собрали около 550 долларов коммерческих ипотечных кредитов в ценные бумаги и проданных в качестве инвестиций в пенсионные фонды, компании по страхованию жизни и взаимные фонды.
Растущие потери коммерческой недвижимости угрожают банкам, восстановление|Дэвид Линч|11 ноября 2020 г.|Washington Post

Такими держателями облигаций обычно являются взаимные фонды, пенсионные фонды и другие институциональные инвесторы.
Банк дает фирмам Purple Line больше времени, чтобы достичь соглашения с Мэрилендом и избежать потенциального дефолта по долгу|Кэтрин Шейвер|8 ноября 2020 г.|Washington Post
Но удовольствие и понимание не всегда исключают друг друга, по крайней мере, не здесь.
Лучшие научно-популярные книги 2014 года|Уильям О’Коннор|14 декабря 2014|DAILY BEAST
Итак, еще одна глава, написанная во взаимно оскорбительных отношениях плохого правительства и плохой культуры.
Фиктивная разгром ИГИЛ ФБР|Джеймс Пулос|21 ноября 2014|DAILY BEAST
Были две сверхдержавы, они знали, что у нас есть, мы знали, что у них, гарантированное взаимное уничтожение что-то значило.
Рик Перри: следующий главный стратег Америки?|Джеймс Пулос|20 сентября 2014 г.|DAILY BEAST
Или это был еще один этап взаимосогласованной сделки между гражданскими правами и национальной безопасностью?
План Дэвида Кэмерона по борьбе с ИГИЛ, вероятно, будет включать расовое профилирование|Клайв Ирвинг|2 сентября 2014 г.|DAILY BEAST
В геополитике доктрина гарантированного взаимного уничтожения предотвращает применение оружия массового уничтожения против врага.
Приложение, раскрывающее лучшее/худшее среди геев Вашингтона|Скотт Биксби|31 мая 2014 г.|DAILY BEAST
Короче говоря, изгнанник и дева полюбили друг друга и поклялись друг другу никогда не расставаться, кроме как силой.
Филиппинские острова|Джон Форман
Мы пожали друг другу руки и взаимно поздравили друг друга, как будто совершили какой-то великий и героический поступок.
Путешествие женщины вокруг света|Ида Пфайффер
Вы должны приглашать только тех гостей, которые будут взаимно приятны, и вы должны быть осторожны при представлении.
Книга женского этикета и Руководство по вежливости|Флоренс Хартли
Это позволяет хозяйке размещать рядом друг с другом тех, кто, как она уверена, будет интересен друг другу.
Книга женского этикета и руководство по вежливости|Флоренс Хартли
Если бы они были французами, то бросились бы друг другу в объятия и взаимно отсалютовали в обе щеки.
The Pit Town Coronet, Volume II (из 3)|Чарльз Джеймс Уиллс

Как найти взаимопонимание с партнером | by Taimi

3 минуты чтения

17 сентября 2018 г.

Мы все понимаем, что важность взаимопонимания в отношениях просто невозможно переоценить. Хотя страстное начало, полное любви и химии, — это здорово, но как только этот сладкий сахар растает, ваши отношения должны будут выживать исключительно на уважении и взаимопонимании. Без этих навыков будет сложно поддерживать здоровые отношения и собственное счастье. Итак, вот несколько советов, на которые мы рекомендуем обратить особое внимание, когда вы находитесь в отношениях, которыми вы дорожите.

Будьте честны

Ни одно из отношений не работает без этого. Честность — это основа любой связи между людьми, поскольку она дает нам чувство доверия и уверенности в том, что мы находимся в надежной среде. Это может показаться невозможным, но не лгите своему партнеру. Если вы сохраните это настоящим и искренним, эта честность вернется к вам, и вы будете наслаждаться жизнью, чувствуя себя в безопасности и уверенными в своем партнере и в себе. При этом помните, что в искренних и счастливых отношениях нет места подчинению, контролю и манипуляциям.

Научитесь общаться

У нас, людей, есть уникальный дар — мы можем общаться вербально, в отличие от других млекопитающих. Не забывайте об этом прекрасном даре, подаренном вам матушкой-землей, и используйте его в полной мере себе во благо. Понимание эмоций и чувств друг друга жизненно важно в отношениях, но вы никогда не сможете понять кого-то, просто глядя на него. Для этого нужно общаться. Недоверие и непонимание возникают, когда партнеры сдерживают свои эмоции и чувства, вместо того, чтобы делиться ими друг с другом. Частые, теплые, продолжительные разговоры — это то, что помогает нам не только оставаться на одной волне, но и строить крепкую эмоциональную связь.

Участвуйте в делах друг друга

Не поймите неправильно, вам не обязательно полностью участвовать в жизни вашего партнера. Пожалуйста, не надо. Нам всем нужно свое пространство и личный интерес. Тем не менее, мы по-прежнему считаем, что деятельность вашего партнера должна вас интересовать косвенно. Не бойтесь считать это небольшой жертвой и притворитесь, что вам интересно, и мы заверяем вас, это заставит вашего партнера почувствовать себя лучше и укрепит связь между вами.

Делитесь и будьте внимательны

Мы собираемся немного повторить вашу маму в этом вопросе, но делиться ЭТО ЗНАЧИТЕЛЬНО заботой. И дело не только в обмене товарами. Делиться своими эмоциями и требовать взаимного уважения к чувствам друг друга — ключ к стабильным отношениям.